Post by samuel on Feb 10, 2015 23:03:30 GMT -3
Sejam $U$, $W$ subespaços vetoriais de um espaço vetorial $V$.
1) Mostre que $V \cap U + V \cap W \subset V \cap (U+W)$.
2) Para quais espaços vetoriais $V$ temos válida a propriedade:
$$ V \cap U + V \cap W = V \cap (U+W) $$
?
Observem a primeira questão.
Se $x = x_1 + x_2 \in V \cap U + V \cap W$, onde $x_1 \in V \cap U$ e $x_2 \in V \cap W$. Então, ambos $x_i, i = 1, 2$ pertencem a $V$, o que implica que $x \in V \cap (U + W)$ o que mostra 1).
Está correto?
Vocês me ajudem na segunda questão?
Eu não entendi a pergunta. Já mostrei que não vale a igualdade fazendo $V = \{(x, x) \in \mathbb{R}^2\}, U = \{(0, y) \in \mathbb{R}^2\}$ e $W = \{(x, 0) \in \mathbb{R}^2\}$.
1) Mostre que $V \cap U + V \cap W \subset V \cap (U+W)$.
2) Para quais espaços vetoriais $V$ temos válida a propriedade:
$$ V \cap U + V \cap W = V \cap (U+W) $$
?
Observem a primeira questão.
Se $x = x_1 + x_2 \in V \cap U + V \cap W$, onde $x_1 \in V \cap U$ e $x_2 \in V \cap W$. Então, ambos $x_i, i = 1, 2$ pertencem a $V$, o que implica que $x \in V \cap (U + W)$ o que mostra 1).
Está correto?
Vocês me ajudem na segunda questão?
Eu não entendi a pergunta. Já mostrei que não vale a igualdade fazendo $V = \{(x, x) \in \mathbb{R}^2\}, U = \{(0, y) \in \mathbb{R}^2\}$ e $W = \{(x, 0) \in \mathbb{R}^2\}$.
