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Post by Deleted on Feb 4, 2015 10:24:59 GMT -3
![]() Alguém poderia me dizer o que errei nessa questão? A resposta é $ \frac{152}{15}\pi u.v$ . O denominador da resposta deu certo, no entanto o numerador deu um valor muito grande. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das região indicada, ao redor do eixo dado.
y=2x², x=1, x=2 e y=2; ao redor do eixo y=2.
$ V=\pi \int\limits_{2}^{8}(2x^2-2)^2dx $
$ V=\pi \int\limits_{2}^{8}(4x^4-8x^2-4)dx $
$ V=\pi (\frac{4x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}-4x)|8,2 $
$ V=\pi [\frac{4(8)^5}{5}-\frac{8(8)^3}{3}-4(8)]-[(\frac{4(2)^5}{5}-\frac{8(2)^3}{3}-4(2)] $
$ V=\pi [(\frac{131072}{5}-\frac{4096}{3}-32)-(\frac{128}{5}-\frac{64^3}{3}-8)] $
$ V=\pi [(\frac{393216-20480-480}{15})-(\frac{384-320-120}{15})] $
$ V=\pi [(\frac{372256}{15})-(\frac{-56}{15})] $
$ V= \frac{372312}{15}\pi u.v $
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Post by Ivo Terek on Feb 4, 2015 13:17:45 GMT -3
O seu erro foi em interpretar o eixo $y = 2$ como sendo vertical (por causa do $y$), sendo que é horizontal. Assim, o desenho está incorreto. Recorde que o volume de rotação em torno do eixo $x$ é dado por $$V_x = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, {\rm d}x,$$ enquanto que o volume de rotação em torno do eixo $y$ é dado por $$V_y = 2 \pi \int_a^b x f(x) \,{\rm d}x.$$ Nós usaremos a primeira fórmula. Transladamos tudo duas unidades para baixo, como você fez corretamente. Mas depois você utilizou a fórmula pra rotação em torno do eixo $x$, com os limites de integração do eixo $y$. A conta que deveria ser feita é: $$V = \pi \int_1^2 (2x^2-2)^2\,{\rm d}x,$$ que podemos verificar no Wolfram Alpha que de fato dá o resultado esperado. E não tenho dúvidas de que você é capaz de fazer esta conta.  |
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Post by Deleted on Feb 4, 2015 13:44:35 GMT -3
Vixe! É mesmo. Coloquei o intervalo errado, viajei legal. Muito obrigado Ivo, eu refiz a questão e agora deu certo.  |
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