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Post by Renji on Feb 3, 2015 23:24:28 GMT -3
Informação fixa sobre o jogo das questões: •Jogo das questões, Ranking: forumfm.boards.net/thread/60/pontua-jogo-das-quest-es(Para o jogo, em geral, ajude postando solução com todos os detalhes possíveis e exposição clara). Link do arquivo em PDF com soluções, questões e pontuações tinyurl.com/orq5xg8 •Neste tópico irei postar as questões de Teoria dos Números . [Jogo das questões-T.N-1] ✓Mostre que um número é divisível por três <=> a soma dos seus algarismos é divisível por 3. ► 3 pontos obs: Nível: Simples Status : Resolvida. |
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Post by edivaldoshimokawa on Feb 3, 2015 23:58:51 GMT -3
Vamos definir o numero n da seguinte forma
n = 10^k*a_k + ... + 10*a1 + a0, tal que a_i pertence a {0,1,2,...,9}
podemos reescrever o n da seguinte forma
n = (3q_n +1)*a_k + ... + (3q_1 +1)*a1 + a_k + ... a_1 + a_0
n = 3*(q_n*a_k + ... + q_1*a_1) + (a_k + ... + a_1 + a0)
entao temos claramente que 3|n se, e somente se, 3|(a_k + ... + a_1 + a0)
obs.:
deixo como exercicio que todo numero 10^n pode ser escrito da forma 3q + 1. para n natural.
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Post by Renji on Feb 4, 2015 8:54:01 GMT -3
Pontuação contada! : )
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Post by edivaldoshimokawa on Feb 4, 2015 13:34:35 GMT -3
qualquer numero natural pode ser escrito da seguinte forma
n = 10^k*a_k + ... + 10*a1 + a0, tal que a_i pertence a {0,1,2,...,9}
podemos usar o seguinte fato
10^n*a_n = [(10^n - 1) + 1)]a_n = [(10 - 1)(10^(n-1) + ... + 10 + 1) + 1]*a_n = [0(10^(n-1) + ... + 10 + 1) + 1]*a_n = a_n (mod 3)
podemos reescrever o n da seguinte forma usando congruência
10^k*a_k + ... + 10*a1 + a0 = 0 (mod 3)
a_k + ... + a_1 + a_0 = 0 (mod 3)
ou seja temos que n = 0 (mod 3) se, e somente se, a_k + ... + a_1 + a_0 = 0 (mod 3)
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Post by Renji on Feb 5, 2015 8:39:28 GMT -3
Correto, pontuação contada!
(A observação que fez, também pode ser provada como 10=1 mod 3, logo 10^n =1 mod 3 )
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