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Post by Felipe Diniz on Jan 12, 2015 23:28:04 GMT -3
Num livro de análise do Folland, ele diz que toda soma não enumerável de termos positivos é infinita. Eu queria saber se é possível obter um conjunto enumerável de termos dessa soma, de modo que a soma deles também é infinita. To achando que é possível sim, mas não sei provar. Valeu!
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Post by Felipe Diniz on Jan 13, 2015 0:28:21 GMT -3
Bolei uma solução aqui, me digam se ela vale ou não.
Seja $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ a sequência de termos $a_\lambda > 0$ com índices em $\Lambda$, que é não enumerável. Agora defina os conjuntos $A_n = \{ a_\lambda: 1/(n+1) \leq a_\lambda < 1/n \}$, para cada $n\in\mathbb{N}$, e $B = \{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\backslash \bigcup_{n=1}^\infty A_n$, então $\{a_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} = B\cup\bigcup_{n=1}^\infty A_n$.
Se $B$ é não enumerável, o resultado é imediato, basta tomar qualquer coleção $\{a_i\}_{i=1}^\infty \subset B$ e notar que $\sum_{i=1}^\infty a_i \geq \sum_{i=1}^\infty 1/n = \infty$. Caso contrário, temos que $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ é não enumerável, isso significa que existe um (pelo menos um) $A_{n_0}$ não enumerável. Então tome $\{a_i\}_{i=1}^\infty \subset A_{n_0}$, temos que $\sum_{i=1}^\infty a_i \geq\sum_{i=1}^\infty 1/(n_0+1) = \infty$.
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