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Post by jrenan on Jan 9, 2015 15:21:35 GMT -3
Construa $D \subset [0,1]^2$ tal que $\partial D = [0,1]^2$ (com a topologia usual) e $D$ tem no máximo um elemento em cada horizontal e um em cada vertical.
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Cássio
Membro Iniciante
Posts: 23 
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Post by Cássio on Jan 9, 2015 16:35:43 GMT -3
Uma ideia é construir uma sequência densa nesse quadrado. Pra isso, vc pode dividi-lo em 4 quadrados menores. Em cada quadrado, colocamos um ponto. Dai, dividimos cada um desses quadrados em 4 novos quadrados. E colocamos um ponto em cada um desses quadrados. Como em cada quadrado há uma quantidade nao enumerável, podemos fazer essa escolha de forma que não pegue nenhum ponto na mesma horizontal/vertical. Talvez dê pra fazer algo explicito nesse teor, usando alguma representação (pensei em base 4, potencias de 2) mas não consegui nada legal
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Post by jrenan on Jan 9, 2015 17:07:02 GMT -3
Cássio, por que a fronteira seria o conjunto todo nesse caso?
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Cássio
Membro Iniciante
Posts: 23
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Post by Cássio on Jan 9, 2015 18:18:35 GMT -3
Ele é enumerável, então o interior é vazio. Por outro lado, ele é denso, dai a fronteira é o fecho.
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Post by Vinicius Rodrigues on Jan 9, 2015 19:14:10 GMT -3
Não sei se a pergunta foi sobre o motivo de ser denso, mas se for isso, vc fixa uma ponto no retângulo e uma bola centrada no ponto, chega uma hora que a aresta dos cubinhos da construção recursiva fica bem pequena e o cubo que vai conter o ponto fica dentro da bola, daí vc vai ter escolhido um elemento dele... é só seguir essa ideia e escrever direitinho.
Edit: não tentei, mas acho que se vc provar que é denso no cubo aberto fica mais fácil de escrever, e isso é suficiente pq o cubo aberto é denso no cubo fechado
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Post by jrenan on Jan 9, 2015 23:49:17 GMT -3
Ele é enumerável, então o interior é vazio. Por outro lado, ele é denso, dai a fronteira é o fecho. Maravilha, nem tinha me tocado que era denso. Lerdeza! Obrigado e Valeu Vinicius também! |
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