Problema interessante (Courant)

Seja $M´<M$ dado. Considere $x_0 \in [a,b]$ um ponto de máximo de $f$. Pela continuidade de $f$, existe um $\delta>0$ tal que $f(x) > M'$, para todo $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ (vide nota no fianal) . Sendo assim, temos que



$$

\left( \int_a^b f(x)^p \; dx \right)^{1/p}

\geq \left( \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)^p \; dx \right)^{1/p}

\geq \left( \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} {M'}^p \; dx \right)^{1/p}

\geq M'(2\delta)^{1/p}.

$$

Logo, para todo $M' < M$, temos que.

$$
\liminf_{p\to\infty} \left( \int_a^b f(x)^p \; dx \right)^{1/p} \geq M'.
$$


Portanto

$$

\liminf_{p\to\infty} \left( \int_a^b f(x)^p \; dx \right)^{1/p} \geq M.

$$


Por outro lado,



$$

\left( \int_a^b f(x)^p \; dx \right)^{1/p} \leq \left( \int_a^b M^p \; dx \right)^{1/p} \leq M{(b-a)}^{1/p}.

$$


Portanto



$$

\limsup_{p\to\infty} \left( \int_a^b f(x)^p \; dx \right)^{1/p} \leq M.

$$



Segue que



$$

\lim_{p\to\infty} \left( \int_a^b f(x)^p \; dx \right)^{1/p} = M.

$$


Nota. Se o $x_0$ for um dos extremos, podemos pegar, se por exemplo $x_0 = a$, $(a,x_0+\delta)$ e com uma pequena alteração no argumento acima (basicamente coloca $\delta$ no lugar de $2\delta$) provamos o que queremos. 

Obs.: Dá pra provar esse resultado de uma maneira até mais fácil num contexto mais geral, que é o seguinte:



Se $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ for mensurável a Lebesgue, então



$$

\lim_{p\to\infty} \| f \|_p = \| f \|_{\infty}.

$$