Soma de quadrados de binomiais

1.
Suponha que em uma festa existem $2n$ participantes, sendo $n$ homens e $n$ mulheres. Queremos selecionar metade deles. A quantidade de maneiras que podemos fazer isso é $\displaystyle \binom{2n}{n}$. Vamos fazer a contagem de maneira diferente agora. Se $k$ dos escolhidos são homens, então $n-k$ são mulheres. Podemos fazer uma escolha dessas (com $k$ homens e $n-k$ mulheres) de $\displaystyle \binom nk \binom n{n-k}$ maneiras. Assim, como $k$ pode ser qualquer número entre $0$ e $n$ temos:
$$ \sum_{k=0}^{n} \binom nk \binom n{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk^2 = \binom{2n}{n}$$



2.
Sabemos que $ \displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk x^k$. Então observe que 
$$ \sum_{k=0}^{2n} \binom {2n}k x^k =(1+x)^{2n} = (1+x)^n(1+x)^n = \left[ \sum_{k=0}^{n} \binom nk x^k \right] ^2$$
Comparando os coeficientes de $x^n$ em ambos as expressões, temos a identidade novamente.