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Post by Francehelder on Jan 6, 2015 1:01:08 GMT -3
Sendo $p$ um número primo, mostre que
$\displaystyle\binom{2p}{p}-2$
é divisível por $p^2$.
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Cássio
Membro Iniciante
Posts: 23 
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Post by Cássio on Jan 6, 2015 7:50:53 GMT -3
Note que $ \displaystyle \sum_{k=0}^{p} \binom pk ^2 = \binom{2p}{p}$. Daí, obtemos $ \displaystyle \binom {2p}p - 2 = \sum_{k=1}^{p-1} \binom pk ^2 $. Por outro lado, se $1 \leq k \leq p-1$ então $p \mid \displaystyle \binom pk$. Logo, $p^2 \mid \displaystyle \binom {2p}p - 2$
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