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Post by Walner Mendonça on Jan 5, 2015 21:14:09 GMT -3
Sejam $a_0,a_1,\ldots,a_n$ e $b_0,b_1,\ldots,b_n$ números reais tais que
$$ a_i = \sum_{k=0}^{i} \binom{i}{k} b_k. $$
Mostre que
$$ b_i = \sum_{k=0}^{i} (-1)^{i+k}\binom{i}{k} a_k. $$
Uma bela interpretação para isso é a seguinte. Seja $A$ a seguinte matriz $(n+1) \times (n+1)$
$$
A = \left[
\begin{array}{cccccc}
\binom{0}{0} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\binom{2}{0} & \binom{2}{1} & \binom{2}{2}& 0 & \cdots & 0 \\
\binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2}& \binom{3}{3} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\binom{n}{0} & \binom{n}{1} & \binom{n}{2} & \binom{n}{3} & \cdots & \binom{n}{n} \\
\end{array}
\right].
$$
Então a inversa de $A$ é
$$
A^{-1} = \left[
\begin{array}{cccccc}
\binom{0}{0} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
-\binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\binom{2}{0} & -\binom{2}{1} & \binom{2}{2}& 0 & \cdots & 0 \\
-\binom{3}{0} & \binom{3}{1} & -\binom{3}{2}& \binom{3}{3} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(-1)^{n}\binom{n}{0} & (-1)^{n+1}\binom{n}{1} & (-1)^{n+2}\binom{n}{2} & (-1)^{n+3}\binom{n}{3} & \cdots & \binom{n}{n} \\
\end{array}
\right].
$$
Como aplicação dessa fórmula, uma vez que $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$, temos que
$$ 1 = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k} \binom{n}{k} 2^{k}.$$
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Cássio
Membro Iniciante
Posts: 23 
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Post by Cássio on Jan 6, 2015 8:49:19 GMT -3
Vou utilizar a convenção que $\displaystyle \binom nk = 0$ se $k > n$ ou $k < 0$. Assim, o elemento da $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna da matriz é $\displaystyle \binom {i-1}{j-1}$ e o da matriz inversa é $ (-1)^{(i-1) + (j-1)} \displaystyle \binom {i-1}{j-1}$. Escolhendo então uma linha $L$ de $A$ e uma coluna $C$ de $A^{-1}$, o que queremos mostrar é:
$$ (-1)^{0+C} \binom L0 \binom 0C + (-1)^{1+C} \binom L1 \binom 1C + ... + (-1)^{n+C} \binom Ln \binom nC = \delta_{LC} $$
Observamos então que $\displaystyle \binom ab \binom bc = \binom ac \binom {a-c}{b-c}$. Uma interpretação dessa identidade para o caso $a \geq b \geq c$ pode ser: Num grupo de $a$ pessoas queremos escolher $b$ para uma competição, sendo $c$ de uma equipe e $b-c$ de outra. Uma maneira de contar essas escolhas é escolher primeiro as $b$ participantes e depois separá-las nas equipes. Outra maneira, é escolher diretamente as $c$ de uma equipe e depois selecionar, do restante, as $b-c$ da outra equipe. Mas o importante é que a equação fica:
$$ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k+C} \binom Lk \binom kC = \sum_{k=0}^n (-1)^{k+C} \binom LC \binom {L - k}{C-K} = \binom LC \sum_{k=0}^n (-1)^{k+C} \binom {L - k}{C-K}$$
Se $ L < C$ obtemos zero. Se $L > C$, podemos expandir $(1-1)^{L-C}$ e chegar no somatório da direita. Se $L=C$, o único termo não nulo é $\displaystyle \binom 00 = 1$. Logo,
$$ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k+C} \binom Lk \binom kC = \delta_{LC} $$
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