tito
Novo Membro
Posts: 6 
|
Post by tito on Jan 5, 2015 15:13:40 GMT -3
Estive pensando no seguinte
Seja f definida em um aberto em R para R derivável num ponto p. Então ela necessariamente deve ser derivável em uma pequena bola aberta em torno de p?
E se f for derivável num intervalo aberto, f'(x) é necessariamente contínua neste intervalo?
|
|
Cássio
Membro Iniciante
Posts: 23
|
Post by Cássio on Jan 5, 2015 17:36:31 GMT -3
Ambas são falsas. No caso da primeira, podemos tomar $f$ tal que $f\left( \dfrac{1}{n} \right) = \dfrac{1}{n^2}$ para $n \in \mathbb N$ e $f(x) = 0$ nos outros casos. Então $f$ é derivável em $0$ mas não é nem contínua em $\left\{ \dfrac{1}{n} ; n \in \mathbb N\right\}$. Pra segunda pergunta, o exemplo clássico é $f(x) = x^2 \sin \dfrac{1}{x}$ se $x \neq 0$ e $f(0) = 0$. Essa função é derivável mas sua derivada não é contínua em $0$.
|
|
tito
Novo Membro
Posts: 6
|
Post by tito on Jan 5, 2015 18:07:48 GMT -3
O segundo exemplo eu já conhecia e tinha me esquecido. O primeiro foi novo.
Excelente resposta, muito obrigado!
|
|
tito
Novo Membro
Posts: 6
|
Post by tito on Jan 7, 2015 8:43:22 GMT -3
Voltei a pensar nisso... Seja f definida E contínua em um aberto de R para R, derivável num ponto p. Então ela necessariamente deve ser derivável em uma pequena bola aberta em torno de p? Talves uma ideia parecida porém mais elaborada mostre um contra-exemplo.
|
|
Cássio
Membro Iniciante
Posts: 23
|
Post by Cássio on Jan 7, 2015 9:19:02 GMT -3
Também é falso. A ideia que usei pra construir o exemplo é 'espremer' a função entre duas outras funções deriváveis, tipo no teorema do sanduiche. Quer dizer, vamos supor que vc tem 3 funções, $f,g,h$ e que vc sabe que $f(0) = g(0) = h(0) = 0$ e $ f \leq g \leq h$. Se $f'(0) = h'(0)$ então também existe $g'(0)$ e da o mesmo valor. (Observe, por exemplo que $\dfrac{f(x)}{x} \leq \dfrac{g(x)}{x} \leq \dfrac{h(x)}{x}$ se $x > 0$). No caso desse exemplo, peguei uma função que estava entre a nula e a parábola. Então é só fazer da mesma maneira.
Tome uma sequência $(a_n)$ estritamente decrescente indo pra zero. Então vc define $g$ como sendo $g(x) = 0$, se $x \leq 0$ ou $x \geq a_0$, $g(a_n) = 0$ se $n$ é par e $g(a_n) = a_n^2$ se $n$ é ímpar. Dai, para $x$ entre $a_n$ e $a_{n+1}$ defina $g$ pro gráfico ser o segmento ligando $(a_n, g(a_n))$ e $(a_{n+1}, g(a_{n+1}))$. Quer dizer, a função é um zig-zag. Ela é continua, mas não vai ser derivável em nenhum $a_n$
Tem como construir também uma função que é derivável em apenas em pontos isolados. Dá uma olhada em função de Weierstrass na wikipédia (é uma função contínua que não tem derivada em nenhum ponto)
|
|
tito
Novo Membro
Posts: 6
|
Post by tito on Jan 7, 2015 10:05:41 GMT -3
Muito bom mesmo!
|
|
