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Post by Felipe Diniz on Jan 4, 2015 23:21:35 GMT -3
Seja $I' = [a_1,b_1]\times\ldots\times [a_n,b_n+\delta]$, tal que $0<\delta\prod_{i=1}^{n-1} (b_i-a_i)\leq \varepsilon$. Então $$vol(I') = (b_n+\delta - a_n)\prod_{i=1}^{n-1} (b_i-a_i) = \delta\prod_{i=1}^{n-1} (b_i-a_i) + \prod_{i=1}^n (b_i-a_i) \leq \varepsilon + vol(I).$$
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Post by Vinicius Rodrigues on Jan 4, 2015 23:26:32 GMT -3
Sai por continuidade, vou fazer um esboço...
Considere a função $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ dada por:
$$f(x)=\prod^n_{j=1}(b_j+x-(a_j-x))$$
Note que se $x>0$, $f(x)$ é o volume do intervalo $\{c \in \mathbb R^n a_j-x\leq c \leq b_j+x, j=1, 2, \cdots, n\}$. Note que esse intervalo contém $I$ em seu interior.
Repare que $f$ é um produto de funções contínuas, e, portanto, contínua em $0$.. Seja dado $\epsilon>0$. Existe $\delta>0$ tal que se $|x|<\delta$ então $|f(x)-f(0)|<\epsilon$. Tomando $x=\delta/2$ e $I'$ o intervalo correspondente, temos que $v(I')-v(I)\leq \epsilon$, como você queria.
Edit: o Felipe Diniz foi mais rápido.
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Post by Felipe Diniz on Jan 4, 2015 23:30:39 GMT -3
opa,ignorei isso, foi mal!
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Post by Vinicius Rodrigues on Jan 4, 2015 23:37:39 GMT -3
Duvidoso Tente evitar posts duplos aqui, edite se quiser adicionar alguma informação (editei pra vc) Assim fica mais limpo []'s Edit: Vou deixar a intuição do que pensei: Bom, vc tem um intervalo I. Você quer inflar ele um pouquinho em todas as direções... se vc inflar só um pouquinho o volume não aumenta muito. Então inflando beeeeeeeeeem pouquinho em todas as direções uniformemente de modo que o volume não aumente muito, vc vai conseguir o que quer. Esse papo de "aumentar bem pouquinho" se traduz como continuidade. Daí eu fiz.
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Post by Felipe Diniz on Jan 5, 2015 7:33:09 GMT -3
Deixa eu tentar me redimir aqui. Pelo menos nessa parte de encontrar o delta, já que o Vinivius já resolveu o problema original.
Seja $I' = [a_1-\delta/2,b_1+\delta/2]\times\ldots\times [a_n-\delta/2,b_n+\delta/2]$, tal que $0 < \delta < 1$. Para cada $i=1\ldots n$, sempre podemos escrever $b_i-a_i + \delta = (1+\delta_i)(b_i-a_i)$, com $0 < \delta_i < 1$, note também que $\delta_i\to 0$ quando $\delta\to 0$.
Dessa vez $I$ está no interior de $I'$, além disso, dado $\varepsilon > 0$, podemos escolher $\delta$ pequeno o suficiente, de modo que $\max\{\delta_1,\ldots,\delta_n\}\leq\varepsilon/vol(I)$, então
$$vol(I') = \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)+\delta = \prod_{i=1}^n (1+\delta_i)(b_i-a_i) \leq \prod_{i=1}^n (1+\varepsilon/vol(I))(b_i-a_i) = (1+\varepsilon/vol(I))\prod_{i=1}^n (b_i-a_i) = (1+\varepsilon/vol(I))\cdot vol(I) = vol(I) + \varepsilon.$$
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Post by Felipe Diniz on Jan 5, 2015 11:52:16 GMT -3
Você tá certo, esqueci disso. .. Tive a ideia no meio da madrugada e resolvi escrever na hora, acho que seria melhor ter esperado pra escrever depois do café da manhã xD
Uma dúvida: porque esse tópico está em Topologia e não em Análise? Pra mim isso tudo parece ser mais da Análise.
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Post by Ivo Terek on Jan 5, 2015 18:35:29 GMT -3
Você tá certo, esqueci disso. .. Tive a ideia no meio da madrugada e resolvi escrever na hora, acho que seria melhor ter esperado pra escrever depois do café da manhã xD Uma dúvida: porque esse tópico está em Topologia e não em Análise? Pra mim isso tudo parece ser mais da Análise. Felipe, é possível migrar as postagens. Acabei de migrar esta para Análise Real e Complexa. []s Ivo |
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