Jogo de questões

Isso é equivalente a mostrar a desigualdade $lnx \le x/e$ , daí tomando a função $f(x)=x/e-lnx$ , a sua derivada é $f'(x)=1/e-1/x$, e portanto sua derivada segunda é $f''(x)=1/x²$, ora não é difícil ver também que em $f'(e)=0$, tomando $x=e$ em $f(x)$ , temos $f(e)=0$ , ok!, ora se $x>e$ , $f'(x)>0$ , e portanto f cresce, se $0<x<e$ então $f'(x)<0$, e f decresce. essas informações juntamente com o fato de que $f'(e) = 0$ , mostra que o gráfico de f , está acima da reta $y=0$  para $x\ne e$ , e está sobre a reta se  $x=e$. donde se ganha que a único valor para o qual temos a igualdade acima é em $x=e$ , e para todo valor diferente de $e$ , tem-se $f(x)>0$, ou em outras palavras $ln x < x/e$ , ou ainda $x^e < e^x$. 

Obs : A Afirmação feita sobre o gráfico estar todo acima da reta é justificada pelo fato de $f''(x)>0$ para todo $x$.


2. Mostre que a intersecção de um cilindro circular reto com um plano (sempre que houver), ou é uma reta ou uma circunferência ou uma elipse(ou um par de retas).

Tome $cos(x)$ como uma função par $p(x)$ qualquer. Agora uma propriedade de $f(x)=\frac{1}{1+a^x}$.

$$f(-x)=\frac{1}{1+a^{-x}}=\frac{a^x}{1+a^x}=1-\frac{1}{1+a^x}$$

ou seja $f(-x)=1-f(x)$. Agora vamos calcular a integral.

$$ \int_{-a}^{a}f(x).p(x)dx $$

por substituição temos $x=-u$ e $dx=-du$

$$ \int_{-a}^{a}f(x).p(x)dx=\int_{a}^{-a}f(-u).p(-u)(-du)= \int_{-a}^{a}f(-u).p(-u)du =\int_{-a}^{a}(1-f(u)).p(u)du $$

OK, como as variáveis de integração estão no mesmo intervalo podemos troca-las por $y$ só para evitar confusão

$$ \int_{-a}^{a}f(y).p(y)dy=\int_{-a}^{a}(1-f(y)).p(y)dy=\int_{-a}^{a}p(y)dy-\int_{-a}^{a}f(y).p(y)dy \Rightarrow 2\int_{-a}^{a}f(y).p(y)dy=\int_{-a}^{a}p(y)dy $$

Logo, a resposta do problema é $$\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}p(y)dy=\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}cos(y)dy=\frac{sen(a)-sen(-a)}{2}=sen(a)$$



4. Calcule a integral  $$\int_{0}^{\infty}\frac{cos(x)-cos(3x)}{x^2}dx$$

4. Acho que dá pra fazer essa questão do Alexandre usando o teorema de fubini também. Na verdade, eu não sei as hipóteses do teorema, então não sei se realmente podemos usá-lo:
$$ \int_0^\infty \dfrac{\cos x - \cos 3x}{x^2} \, dx = \int_0^\infty \int_x^{3x} \dfrac{\sin y}{x^2} \, dydx = \int_0^\infty \int_{\frac{y}{3}}^y \dfrac{\sin y}{x^2} \, dxdy = 2 \int_0^\infty \dfrac{\sin y}{y} \, dy = \pi $$

5. Observando a série de Taylor, o primeiro termo de $e^{x^2} - x^2 - 1$ é $\frac{x^4}{2}$ e o de $\cos x - 1$ é $-\frac{x^2}{2}$. Então $\alpha = 6$ e $L = -\frac{1}{4}$. De fato, basta escrever $\alpha = 6 - \beta$. Então:
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^{x^2} - x^2 - 1)(\cos x -1)}{x^6} x^\beta$$

Como a primeira parte do limite é $-\frac{1}{4}$ então devemos ter $\beta = 0$.

6. Calcule $$ \sum_{n=0}^{\infty} \textrm{ arc cot } (n^2 + n + 1) $$

Note que $x^2=2^x \iff \ln(x^2) = \ln(2^x) \iff x\ln(2)-2\ln|x| = 0$, então o problema se resume a encontrar as raízes de $f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}$, dada por $f(x) = x\ln(2)-2\ln|x|$. Seguem algumas observações sobre $f$.

$$ 1) \lim_{x\to 0}f(x) = \ln(2)\lim_{x\to 0}x - 2\lim_{x\to 0}\ln|x| = +\infty $$
$$ 2) \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}x\ln(2)-2\ln|x| = \lim_{x\to+\infty}\ln\Big(\frac{2^x}{x^2}\Big) = +\infty$$
$$ 3) \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to-\infty}x\ln(2)-2\ln|x| = -\infty$$

Agora vamos olhar para $f'$, temos que $f'(x) = \ln(2)-\frac{2}{x}$. Seguem algumas observações sobre $f'$.

$$ 1) \lim_{x\to 0^+} f'(x) = \lim_{x\to 0^+}\ln(2)-\frac{2}{x} = -\infty$$
$$ 2) \lim_{x\to 0^-} f'(x) = \lim_{x\to 0^-}\ln(2)-\frac{2}{x} = +\infty$$
$$ 3) \lim_{x\to \pm\infty} f'(x) = \lim_{x\to \pm\infty}\ln(2)-\frac{2}{x} = \ln(2)$$

O gráfico de $f'$ é esboçado abaixo.


$f$ deve possuir apenas uma raíz em $(-\infty,0)$, pois $f$ é contínua nesse intervalo e muda de sinal apenas uma vez (pois $f'$ é positiva neste intervalo, ou seja, $f$ é estritamente crescente em $(-\infty,0)$ ).

Quanto ao intervalo $(0,+\infty)$, temos que $f$ inicialmente é decrescente (pois $f'$ é negativa à direta de $0$ ), mas depois passa a ser crescente (pois $f'\to \ln(2)$ quando $x\to+\infty$ ). Além disso, $f$ possui um mínimo absoluto em $(0, +\infty)$, no ponto $x=\frac{2}{\ln(2)}$. Como $\frac{2}{\ln(2)} > 1$, segue $f\Big(\frac{2}{\ln(2)}\Big) = \frac{2}{\ln(2)}\cdot\ln(2) -2\ln\Big|\frac{2}{\ln(2)}\Big| = 2\Big(1- \ln\Big|\frac{2}{\ln(2)}\Big|\Big) < 0$. Com essas informações podemos esboçar o gráfico de $f$.


Note que $f$ é decrescente em $(0, \ln\Big|\frac{2}{\ln(2)}\Big|)$ e crescente em $(\ln\Big|\frac{2}{\ln(2)}\Big|, +\infty)$. Daí concluímos que $f$ possui exatamente duas raízes em $(0, +\infty)$. Essas raízes são fáceis de serem encontradas, sendo $x=2$ e $x=4$.

Quanto a raíz negativa, não conheço uma expressão fechada para ela. Uma aproximação numérica é $x\approx -0.766$.

$\textbf{8.}$ Mostre que $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n} = \int_0^1 \frac{1}{x^x} dx.$$