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Post by Zair Henrique on Jan 3, 2015 22:34:16 GMT -3
Oi pessoal, pra fazer a estréia da área, começo com essa discussão. Hoje aqui no Brasil temos diversas instituições de nível superior, e diversos cursos de matemática. Uma coisa que eu percebi é que os cursos (disciplinas) em geral são bem diferentes de uma instituição pra outra, em ementa, nível de profundidade, etc.
O que vocês acham que um curso de cálculo 1 (cálculo de uma variável real) deveria conter para ser um BOM curso de cálculo 1? (Pensando num curso de matemática).
Aqui na faculdade em alguns cursos eles colocam foco muito na parte de calcular em si (resolver um monte de limites, derivadas, etc, sem sentido). Vocês acham isso útil?
Eu acho que expor alguns resultados mais elaborados poderiam ajudar tanto no cálculo como mais pra frente. Por exemplo, mostrar que se uma função $f$ é limitada e se $\lim g(x) = 0$, então $\lim f(x)g(x) = 0$ mesmo que $\lim f(x)$ não exista. Com esse resultado alguns limites como $\lim_{x\rightarrow 0} x\sin{\frac{1}{x}}$ se tornam triviais.
Além disso, aprender a demonstrar coisas melhor ajudaria mais pra frente em um curso de análise por exemplo.
Outra coisa, acham que vale a pena ter sequências/séries em um curso de cálculo 1?
abçs
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Post by Vinicius Rodrigues on Jan 3, 2015 22:39:52 GMT -3
Eu acho que um curso de cálculo 1 tem que ter bastante conta, mas não precisam ser contas longas e difíceis. Acho que o cara tem que saber derivar qualquer função elementar de forma mecânica e aprender a usar aqueles truques de calcular limite com e sem L'Hôpital. Sobre esse exemplo do produto ir pra zero que você teve, eu tive isso em cálculo 1, acho bacana ter isso também. Eu acho que todas as demonstrações simples devem ser feitas. Coisas mais complicadas (como o teorema da mudança de variáveis na integral, que é mais técnico, e o teorema do valor intermediário, que exige a apresentação da propriedade do supremo de R, coisa que geralmente não é feita), podem ser apenas enunciadas, acho que a hora certa de ver isso é em um curso de análise. Além disso, acho que uma prova valendo 10 de cálculo 1 não deve exigir demonstrações (se valer mais do que 10, sendo os pontos excedentes demonstrações valendo um "bônus", ok). Acho que o matemático tem que saber fazer esse tipo de conta.
Quanto a sequências e séries, não acho necessário em cálculo 1 não.
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Post by Guilherme Simões on Jan 3, 2015 23:31:19 GMT -3
Meu curso de Cálculo 1 foi razoavelmente rigoroso e eu gostei bastante. Só acho que faltou fazer um pouco de conta pra ganhar "intimidade" com os muitos conceitos novos. Mas o maior problemas dos cursos mais tradicionais é que as contas não estão relacionadas a nenhuma aplicação. Resolver integrais só porque elas estão na lista é muito chato.
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Post by Victor Chaves on Jan 4, 2015 13:16:38 GMT -3
Uma coisa que eu tive em cálculo 1 e que achei muito interessante foi little-oh.
Infelizmente isso foi totalmente esquecido nos cálculos seguintes e por falta de uso, abandonado. Mas é interessante, assim como big-oh. Meu curso de cálculo 1 começou com limites, foi pra derivadas, chegou em integral e depois voltou pra limite usando o-pequeno.
Acho legal pra demonstrar como diferentes áreas se conectam, como álgebra linear complexa é usada pra demonstrar mais facilmente teoremas em álgebra linear real.
Entretanto, não tenho certeza se é o tipo da coisa que "deve" estar em um curso de cálculo. Talvez seja um apêndice opcional.
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tito
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Post by tito on Jan 5, 2015 15:32:15 GMT -3
Do livro do Landau, Foundations of Analysis:
"my daughters have been studying (Chemistry) at the University for several semesters already and think that they have learned the differential and integral calculus in College; and yet they still don't know why x*y = y*x"
Eu acho que os cursos de cálculo 1 padrão estão bem fora do que deveriam ser para matemáticos (não que para os outros esteja certo). A maioria dos alunos sai sem saber o que é supremo, por exemplo. Â única coisa que aprendem é derivar e tirar primitivas de combinações de funções elementares.
Não precisa ensinar muito disso, porque isso os alunos já vão aprender "na rua".
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Post by Guilherme Simões on Jan 8, 2015 11:48:51 GMT -3
Eu sempre achei o Landau muito arrogante. E saber porque x*y = y*x não é provar esse teorema depois de definir os números reais usando os axiomas de Peano. É saber porque nas aplicações usuais dos números reais x*y = y*x.
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Post by senhormouse on Feb 4, 2015 22:00:15 GMT -3
O resultado de limites que você falou é comum ver em cálculo I, e é muito útil.
Às vezes o professor pode não falar por falta de tempo.
Mas como é simples chegar nisso usando sanduíche, não custa nada pelo menos mencionar.
Cálculo I, II, III, IV, +infinito têm que ser praticamente sem rigor e tem que focar nos cálculos.
Análise é que tem que focar nas demonstrações.
Mas é importante os alunos saberem que aquilo lá sem rigor é só uma justificativa intuitiva ao invés de uma prova formal.
Epsilon e delta, por exemplo, tem que ser mencionado, mas não cobrado em prova.
Também acho válido falar direito de infinitesimais.
Vejo um monte de professor que fala a vida inteira que a derivada dy/dx não é uma divisão e que não pode separar o dy do dx de jeito nenhum, aí chegam em integral (ou edo, mais pra frente) e fazem tudo quanto é aritmética com os infinitesimais.
Isso confunde muito os alunos.
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